Сриниваса рамануджан

О приёмных матерях бедного мальчишки[править]

В возрасте 37 лет доживающая свой век мать Рамануджана составила завещание:

Непонятно, почему завещание не было дописано. Возможно, у мамы сломался карандаш, а может быть, она не выдержала и отравилась. Рамануджан узнал о смерти мамы на следующей неделе, когда к ним в дом вошла новая мачеха Рамануджана. В дальнейшем новые мачехи приходили к мальчишке каждые 68,31 минуты, в дальнейшем это число всё уменьшалось. За свою жизнь у Рамануджана было 186095 мачех!

Переход в Кембридж

… теория простых чисел полна подводных камней, преодоление которых требует применения современных строгих методоводним из самых замечательных математических достижений за всю историю математикиE. Х. Невиллочень ортодоксальный брамин, и так как он сомневался, стоит ли ехать на чужбину, то сказал мне, что не стоитдостаточно любезны, чтобы взять на себя труд принимать меня в течение нескольких месяцевуниверситета Мадрасаоткрытие гения С. Рамануджана из Мадраса обещает быть самым интересным событием нашего времени в математическом мире17 марта 1914 годаСуэцкому каналу14 апреляг-н С. Рамануджан из Мадраса, чьи работы по высшей математике вызвали удивление в Кембридже, в настоящее время находится в резиденции в ТринитиНевиллБарнсNevilleThetaSBarnesG

В кинематографе

Математик-самоучка Рамануджан — главный герой следующих художественных фильмов:

• «Рамануджан» (2014) производства Индии;
• «Человек, который познал бесконечность» (2015) производства Великобритании, по одноимённой биографии Роберта Канигела.
• Амита Рамануджан, героиня сериала «4исла», названная в честь математика.
• «Умница Уилл Хантинг» (1997) производства США. Упоминается в диалоге профессора математики Джеральда Лембо и психолога Шона.

• Огюст Пикар (мезоскаф)
• Семиосоциопсихология
• Транзитное сообщение (ГДР)
• Государственный университет управления
• Camponotus tafo
• Южный Агусан
• Казаков, Алексей Валерьевич
• Стаффорд, Джон (архиепископ Кентерберийский)
• Алдя-Теодорович, Дойна
• Камбун

Вклад в науку[править]

Важнейшая формула, изобретённая Рамануджаном — формула сферического коня в вакууме, которая служит учёным в очень многих прикладных областях математики: геймерству, картошкокопательству, инженерии, травологии, ботанике и даже Хогвартсу. Вот она:

sfericheskijkonvvakuume−1x=cos⁡x+−1sin⁡x{\displaystyle sfericheskijkonvvakuume^{{\sqrt {-1}}x}=\cos {x}+{\sqrt {-1}}\sin {x}}.

А взять хотя бы его формулу для вычисления числа пи?

∫−∞+∞sin⁡xxdx=π{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{{\frac {\sin x}{x}}dx}=\pi }

Или такую:

π=4089798022∑k=∞(4k)!(k!)4×1103+26390k(4×997895)4k.{\displaystyle \pi ={\frac {40897980}{2{\sqrt {2}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }\displaystyle {\frac {(4k)!}{(k!)^{4}}}\times \displaystyle {\frac {}{(4\times 997895)^{4k}}}}}.}

Но все его формулы всего лишь цветочки перед этим утверждением:

Пусть fS2→R3{\displaystyle f\colon S^{2}\to \mathbb {R} ^{3}} есть стандартное вложение сферы в трёхмерное пространство. Тогда существует непрерывное однопараметрическое семейство гладких погружений ftS2→R3,  t∈,1{\displaystyle f_{t}\colon S^{2}\to \mathbb {R} ^{3},\ \ t\in }, такое, что f=f{\displaystyle f_{0}=f} и f1=−f{\displaystyle f_{1}=-f}. Это утверждение непрямым образом доказывает теорему Каспеля-Фридриха-Форншмидта-Банцеля-Капустина о непрерывных замкнутых компактных полуотображениях 79-мерного пространства. И естественно, эта теорема используется во всех прикладных областях математики: геймерству, картошкокопательству, инженерии, травологии, ботанике, Хогвартсе, и даже в математике.

Письмо и его последствия

аналитического продолженияфакториалнецелые числая настолько развил эти идеи в своих исследованиях, что местные математики не в состоянии понять меня и мои работыпотому что если бы они не были правдой, никому не хватило бы воображения их придуматьнашел Харди и Литтлвуда в состоянии дикого возбуждения, потому что они считают, что нашли второго Ньютона — индуистского клерка, который зарабатывает в Мадрасе 20 фунтов в годЯ был чрезвычайно заинтересован вашим письмом и теоремами, которые вы сформулировалиОднако вы должны понять, что, прежде чем я смогу судить правильно о ценности того, что вы сделали, я должен увидеть доказательства некоторых из ваших утвержденийпочти все зависит от точности и строгости методов доказательства, которые вы использоваличислам Бернуллия очень надеюсь, что вы отправите мне как можно быстрее… некоторые из ваших доказательствв надежде как можно скорее получить от вас ответдействительнопрофессора математики в Лондонене попадать в ловушку расходящихся рядовесли бы я продемонстрировал вам мои методы доказательства, то, уверен, вы присоединились бы к мнению лондонского профессора… если я скажу вам, то вы ответите, что мое место — в психушкея говорю об этом только для того, чтобы убедить вас, что вы не в состоянии будете следовать моим методам доказательства… основанным на одной буквея уже живу впроголодь. Чтобы сохранить мозги, мне нужна еда…мои результаты верифицируются — в противном случае моя позиция была бы слишком шаткой(d) — это, конечно, неверноЭйлеромЯкобидзетафункция Риманагипотезанерешенная математическая задачаZetaZetaZetaопределенных расчетовУниверситете Мадрасаего результаты замечательны; но он не может на данный момент представить вразумительного доказательства некоторых из нихон обладает достаточным знанием английского языка и не слишком стар, чтобы учиться современным методам из книгФорт Ст. Джорджа

Отрочество[править]

Немного более отдалённым от математики Рамануджан стал лишь в 49-летнем возрасте. С этого момента наступает фаза отрочества. Он выучился ещё десятку индийских слов, которые были не очень далеки от матана. В 50 лет у него стали появляться зачатки орфографии. Вот пример текста, написанный Рамануджаном в 66-летнем возрасте:

Также у него добавилось несколько новых увлечений. В частности это было чтение конституции Ассирии при Ашшурбанапале и вышивка крючком. Изделия Сринивасы получались похожими на квадратные корни и графики гамма-функций. 11 января −3041 года произошло важнейшее событие в жизни математика. Его 186-ая мачеха всё-таки отважилась сводить своего приёмного сына к местному врачу. Доктор заявил, что «подобное чудо дифференциальной природы я не буду лечить» и позвал следующего. Спустя несколько лет 1860-ая мачеха Айенгора сводила его к главному доктору всей земли индийской»(на самом деле это был психованный психолог-психопат). Сринивасе было 107 лет. Великий врач сказал, что «этого великого человека одарил Бог бессмертием», поменял в мозгу математика кучу настроек и удалился сказав слова « хронический чёртичемизмный математизм». На этом окончилась эпоха отрочества.

Зрелость[править]

Вследствие неправильного лечения Рамануджан начал страдать рассемерением личности и стал произносить подобные фразы: «Интеграл гусёнка равен накормленному мусульманину», и прочую чушь. Немного погодя, 18600-ая мачеха Рамануджана подала заявление в суд на Великого врача. Его казнили, Рамануджана долго лечили местные врачи. Настолько долго, что это занесли в Книгу рекордов Гиннесса, продолжительность лечения составила 316 лет! К концу лечения Айенгор сильно оброс. После 2-недельного бритья Рамануджан вышел в люди. Но его убили палками как человека, непригодного для служения индийскому обществу.

Биография

Рамануджан родился 22 декабря 1887 года в городе Ироду, Мадрасское президентство, на юге Индии, в тамильской семье. Отец работал бухгалтером в небольшой текстильной лавке в городе Кумбаконаме Танджорского района Мадрасского президентства. Мать была глубоко религиозна. Рамануджан воспитывался в строгих традициях замкнутой касты брахманов. В 1889 году он перенёс оспу, но сумел выжить и выздороветь.

В школе проявились его незаурядные способности к математике, и знакомый студент из города Мадраса дал ему книги по тригонометрии. В 14 лет Рамануджан открыл формулу Эйлера о синусе и косинусе и был очень расстроен, узнав, что она уже опубликована. В 16 лет в его руки попало двухтомное сочинение математика Джорджа Шубриджа Карра «Сборник элементарных результатов чистой и прикладной математики», написанное почти за четверть века до этого (впоследствии, благодаря связи с именем Рамануджана, эта книга была подвергнута тщательному анализу). В нём было помещено 6165 теорем и формул, практически без доказательств и пояснений. Юноша, не имевший ни доступа в ВУЗ, ни общения с математиками, погрузился в общение с этим сводом формул. Таким образом, у него сложился определённый способ мышления, своеобразный стиль доказательств. В этот период и определилась математическая судьба Рамануджана. Среди покровителей Рамануджана на этом поприще были его начальник сэр Фрэнсис Спринг, его коллега С. Нараяна Ийер и будущий секретарь Индийского математического общества Р. Рамачандра Рао.

В январе 1913 года Рамануджан написал письмо известному профессору Кембриджского университета Годфри Харди. В письме Рамануджан сообщал, что он не заканчивал университета, а после средней школы занимается математикой самостоятельно. К письму были приложены формулы, автор просил их опубликовать, если они интересны, поскольку сам он беден и не имеет для публикации достаточных средств. Между кембриджским профессором и индийским клерком завязалась оживлённая переписка, в результате которой у Харди накопилось около 120 формул, неизвестных науке того времени. По настоянию Харди Рамануджан приехал в Кембридж. Там он был избран в члены Английского Королевского общества (Английская академия наук) и одновременно профессором Кембриджского университета. Он был первым индийцем, удостоенным таких почестей. Печатные труды с его формулами выходили один за другим, вызывая удивление, а подчас и недоумение коллег.

В формировании математического мира Рамануджана начальный запас математических фактов объединился с огромным запасом наблюдений над конкретными числами. Он коллекционировал такие факты с детства. Он обладал поразительной способностью подмечать огромный числовой материал. По словам Харди, «каждое натуральное число было личным другом Рамануджана»[источник не указан 655 дней]. Многие математики его времени считали Рамануджана просто экзотическим явлением, опередившим развитие науки, как минимум, на 100 лет. А современные математики не перестают удивляться проницательности индийского гения, перепрыгнувшего в математику нашего времени[источник не указан 655 дней].

По семейным обстоятельствам Рамануджан вернулся в Индию, где и умер 26 апреля 1920 года. Причиной ранней (в возрасте 32 лет) смерти мог быть туберкулёз, усугублённый последствиями недоедания, истощения и стресса. В 1994 году предположили, что у Рамануджана мог быть амёбиаз.

Детство[править]

Рамануджан родился в 3141 году до нашей эры в отдалённой индийской деревне Гвадалакхоре. Первой его же фразой было «я разложу этот чёртов гиперболический арккотангенс в ряд Тейлора, будь я проклят!!». Читать он научился в 6, считать в 7 , а разлагать простейшие функции в ряды Тейлора в 8 недель от роду. В 9 недель он уже мог рассказать всю теорию вероятностей наизусть, а в 10 открыл для себя теорию всего (впоследствии он никому её не рассказывал, опасаясь мести сторонников Вассермана). В дальнейшем всё его детство прошло в мучениях. Вот как отзывался о своём детстве сам Айенгор:

Единственное, что его интересовало — это математика. Показатели IQ у Сринивасы были невероятно занижены и достигали значений i{\displaystyle {\sqrt {i}}}. Позже Рамануджан признался, что у него было еще одно увлечение — игра в «настенных грызов»: от недостатка внимания он грыз стены, пока не приходила мать с рисового поля и не находила свой дом в форме интеграла или кубической параболы. Также он собирал коллекцию солдатиков в период с 21 по 22 июля 3138 года до нашей эры. В коллекции оказалось 0,3141500271828 солдатика (хотя точное число солдатиков неизвестно, у некоторых исследователей возникло подозрения, что это число трансцендентное).

Рамануджан оспаривает систему аксиом Цермело-Френкеля со своим отцом.

Рамануджан в 480,31415 лет, перед двухнедельным бритьём

Первая формула, выведенная Рамануджаном

Рамануджан в Кембридже

тамильскийэрцгерцог Фердинандони летают в самолетах на большой высоте, бомбят города и разрушают их. Как только вражеские самолеты показываются в небе, самолеты, стоящие на земле, взлетают и на огромной скорости набрасываются на них, что несет разрушение и смертьвойна ведется на территориях столь отдаленных, насколько Рангун находится далеко от немного семян тамаринда и хорошего кокосового маслапрофессора здесь… утратили интерес к математике из-за нынешней войныизменил план публикации своих результатових методыполучить новые результаты их методами, чтобы легко и без задержек публиковатьсявысокосоставные числахмаксимумахDivisorSigmaстатьюPartitionsPnPartitionsPкакой-то неизвестный возбудитель с Востока, совершенно неизученный в настоящее времяКак и все индийцы, Рамануджан фаталист, а потому ужасно трудно заставить его заботиться о себеНет, это очень интересное число; это наименьшее число, представимое в виде суммы двух кубов двумя различными способамисообщает теперь также о некоторых других его свойствах13 марта 1919 года12 января 1920 года

Литература

• The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan, 1991, Robert Kanigel
• Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. — Издание третье, расширенное. — М.: МЦНМО, 2001. — ISBN 5-900916-83-9.
• Харди Г. Двенадцать лекций о Рамануджане. — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 336 с.
• Гиндикин С. Г. Загадка Рамануджана // Квант. — 1987. — № 10. — С. 14.
• Аски Р. С. Рамануджан. Гипергеометрические и базисные гипергеометрические ряды // УМН. — 1990. — Т. 45, № 1(271). — С. 33—76.
• Борвейн Дж., Борвейн П. Рамануджан и число π // В мире науки. — 1988. — № 4.
• Левин В. И. Рамануджан — математический гений Индии. — М.: Знание, 1968. (альтернативная ссылка)
• Левин В. И. Жизнь и творчество индийского математика С. Рамануджана // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1960. — Т. XIII.
• Литлвуд Дж. И. Рецензия на собрание сочинений Рамануджана // Математическая смесь. — М.: Наука, 1990. — ISBN 5-02-014332-4.
• Список литературы о Рамануджане в рунете
• George E. Andrews, Bruce C. Berndt Ramanujan’s Lost Notebook: Part I, II, III, IV ISBN 0-387-25529-X, 2008, ISBN 978-0-387-77765-8, 2012, ISBN 978-1-4614-3809-0, 2013, ISBN 978-1-4614-4080-2)

Признание и оценки

Бюст Рамануджана в саду Промышленного и технологического музея Бирлы в Калькутте

Харди остроумно прокомментировал результаты, сообщённые ему Рамануджаном: «Они должны быть истинными, поскольку если бы они не были истинными, то ни у кого не хватило бы воображения, чтобы изобрести их»[источник не указан 364 дня]. Его формулы иногда всплывают в современнейших разделах науки, о которых в его время никто даже не догадывался.

Сам Рамануджан говорил, что формулы являлись ему во сне и внушались в молитве (в индуизме: в мантра-йоге, медитации) богиней Намагири Тхайяр (англ.) (Махалакшми) (хинди नामगिरी), почитаемой в Намаккале (там. நாமக்கல்).

Чтобы сохранить наследие этого удивительного, ни на кого не похожего математика, в 1957 году Институт фундаментальных исследований Тата издал двухтомник с фотокопиями его черновиков.

Научные интересы и результаты

Сфера его математических интересов была очень широка. Это магические квадраты, квадратура круга, бесконечные ряды, гладкие числа, разбиения чисел, гипергеометрические функции, специальные суммы и функции, ныне носящие его имя, определённые интегралы, эллиптические и модулярные функции.

Он нашёл несколько частных решений уравнения Эйлера (см. задача о четырёх кубах), сформулировал около 120 теорем (в основном в виде исключительно сложных тождеств). Современными математиками Рамануджан считается крупнейшим знатоком цепных дробей в мире. Одним из самых замечательных результатов Рамануджана в этой области является формула, в соответствии с которой сумма простого числового ряда с цепной дробью в точности равна выражению, в котором присутствует произведение e{\displaystyle e} на π{\displaystyle \pi }:

1+11⋅3+11⋅3⋅5+11⋅3⋅5⋅7+11⋅3⋅5⋅7⋅9+…+11+11+21+31+41+51+…=e⋅π2.{\displaystyle 1+{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+\ldots +{\frac {1}{1+\displaystyle {\frac {1}{1+\displaystyle {\frac {2}{1+\displaystyle {\frac {3}{1+\displaystyle {\frac {4}{1+\displaystyle {\frac {5}{1+\ldots }}}}}}}}}}}}={\sqrt {\frac {e\cdot \pi }{2}}}.}

Математикам хорошо известна формула вычисления числа π{\displaystyle \pi }, полученная Рамануджаном в 1910 году путём разложения арктангенса в ряд Тейлора:

π=980122∑k=∞(4k)!(k!)4×1103+26390k(4×99)4k.{\displaystyle \pi ={\frac {9801}{2{\sqrt {2}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }\displaystyle {\frac {(4k)!}{(k!)^{4}}}\times \displaystyle {\frac {}{(4\times 99)^{4k}}}}}.}

Уже при суммировании первых 100 элементов (k=100{\displaystyle k=100}) этого ряда достигается точность в шестьсот верных значащих цифр.

Примеры бесконечных сумм, найденных Рамануджаном:

1−5(12)3+9(1×32×4)3−13(1×3×52×4×6)3+…=2π{\displaystyle 1-5\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}+9\left({\frac {1\times 3}{2\times 4}}\right)^{3}-13\left({\frac {1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6}}\right)^{3}+\ldots ={\frac {2}{\pi }}}.

1+9(14)4+17(1×54×8)4+25(1×5×94×8×12)4+…=232π12Γ2(34).{\displaystyle 1+9\left({\frac {1}{4}}\right)^{4}+17\left({\frac {1\times 5}{4\times 8}}\right)^{4}+25\left({\frac {1\times 5\times 9}{4\times 8\times 12}}\right)^{4}+\ldots ={\frac {2^{\frac {3}{2}}}{\pi ^{\frac {1}{2}}\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}.}

Эти удивительные формулы — одни из предложенных им в первом письме к Харди. Доказательства этих равенств нетривиальны.

Другие формулы Рамануджана не менее изящны:

1+21+31+41+…=3.{\displaystyle {\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+4{\sqrt {1+\ldots }}}}}}}}=3.}

Доказательство

n2=1+n2−1{\displaystyle n^{2}=1+n^{2}-1}

n2=1+(n−1)(n+1){\displaystyle n^{2}=1+(n-1)(n+1)}

n=1+(n−1)(n+1){\displaystyle n={\sqrt {1+(n-1)(n+1)}}}

Примеры:

3=1+2∗4{\displaystyle 3={\sqrt {1+2*4}}}

4=1+3∗5{\displaystyle 4={\sqrt {1+3*5}}}

5=1+4∗6{\displaystyle 5={\sqrt {1+4*6}}}

…
Откуда:

3=1+21+31+4∗6{\displaystyle 3={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+4*6}}}}}}}

Легко видеть, что формула Рамануджана получается путем бесконечной подстановки выражения 1+(n−1)(n+1){\displaystyle {\sqrt {1+(n-1)(n+1)}}} для следующего числа n+1{\displaystyle n+1}.

x3+y3+z3=w3{\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3}}, где

x=3a2+5ab−5b2,y=5a2−5ab−3b2,z=4a2−4ab+6b2,w=6a2−4ab+4b2.{\displaystyle {\begin{aligned}x&=3a^{2}+5ab-5b^{2},\\y&=5a^{2}-5ab-3b^{2},\\z&=4a^{2}-4ab+6b^{2},\\w&=6a^{2}-4ab+4b^{2}.\end{aligned}}}

eπ58=3964−104,000000177…{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {58}}}=396^{4}-104{,}000000177…}

Следующая формула действительна для 0 < a < b + 12:

∫∞1+x2(b+1)21+x2a2×1+x2(b+2)21+x2(a+1)2×…dx=π2×Γ(a+12)Γ(b+1)Γ(b−a+1)Γ(a)Γ(b+12)Γ(b−a+12).{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {1+{\dfrac {x^{2}}{(b+1)^{2}}}}{1+{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}}}\times {\frac {1+{\dfrac {x^{2}}{(b+2)^{2}}}}{1+{\dfrac {x^{2}}{(a+1)^{2}}}}}\times \dots \,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\times {\frac {\Gamma \left(a+{\frac {1}{2}}\right)\Gamma (b+1)\Gamma (b-a+1)}{\Gamma (a)\Gamma \left(b+{\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left(b-a+{\frac {1}{2}}\right)}}.}